座標系

各種3Dモデルエディタごとに、x軸、y軸、z軸の向いている方向は異なります。例としてBlenderでは、通常下記のように正面が -y軸 方向となるようにモデルを作成します。

Maprayでは3Dモデルのファイル形式としてglTF形式を読み込むことができます。glTFの座標系は Y Up （y軸が上方向）で出力されることが多く、Maprayでもこの座標系で出力されていることを前提に処理を行います。出力されたファイルでは、下図のようにy軸が高さ方向、z軸が正面となるような座標系となります（正面である必要はありませんが本文書では正面とします）。

下図は上記モデルをMaprayで読み込んだ結果です。 外側・内側の座標系が表示されていますが、外側に表示されている座標系が上記glTFモデルの座標系です。 Roll, Tilt Headingなど、姿勢を制御するパラメータを指定しない場合、3Dモデルは図のような方向に配置されます。 y軸が高さ方向、z軸が北方向、x軸が西方向を向いています（3Dモデルの正面が北を向くことになります）。

Maprayでは、3Dモデルの方向をMaprayローカル座標系（上図中の内側の座標系）で管理します。

Maprayで表現される3Dモデルは、Maprayローカル座標系への変換行列 \(T_\mathrm{MLOCS}\) および、姿勢変換行列 \(T_\mathrm{attitude}\) が適用されます。全体を通した変換行列 \(T_\mathrm{all}\) は下記のようになります。

\begin{equation} T_\mathrm{all} = T_\mathrm{MLOCS} T_\mathrm{attitude} \end{equation}

モデルに含まれる点 \(\vec{p}_m\) と実際に表示される位置 \(\vec{p}_g\) の関係は下記のように計算されます。

\begin{equation} \vec{p}_g = T_\mathrm{all} \vec{p}_m \end{equation}

姿勢変換 \(T_\mathrm{attitude}\) の詳細な座標変換について説明します。

拡大を示す行列。

\begin{equation} S = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation}

+x軸側から中心を見て \(\theta\) 時計回りする回転行列。

\begin{equation} R_x(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation}

+y軸側から中心を見て \(\theta\) 時計回りする回転行列。

\begin{equation} R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation}

+z軸側から中心を見て \(\theta\) 時計回りする回転行列。

\begin{equation} R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation}

モデルに対し、下記の順番で演算を行います。

姿勢変換行列 \(T_\mathrm{att}\) は下記のようになります。

\begin{equation} \begin{aligned} T_\mathrm{att} &= R_z(H) \times R_x(T) \times R_y(R) \times S \\ &= \scriptsize \begin{pmatrix} s_x(\sin{R} \sin{T} \sin{H} + \cos{R} \cos{H}) & s_y\cos{T}\sin{H} & s_z (\cos{R} \sin{T} \sin{H} - \sin{R} \cos{H}) & 0 \\ s_x (\sin{R} \sin{T} \cos{H} - \cos{R} \sin{H}) & s_y \cos{T} \cos{H} & s_z (\cos{R} \sin{T} \cos{H} + \sin{R} \sin{H}) & 0 \\ s_x \sin{R} \cos{T} & -s_y \sin{T} & s_z \cos{R} \cos{T} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \vec{p} = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix} \end{equation}

Maprayでは GeoMath.createVector3 を用いてベクトルを生成します。

\begin{equation} T = \begin{pmatrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & m_{03} \\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{pmatrix} \end{equation}

Maprayでは GeoMath.createMatrix を用いて行列を生成します。

配列で保存される順番にご注意ください。

\begin{equation} \vec{p_t} = T \vec{p} \end{equation}

\begin{equation} T_2 = T^{-1} \end{equation}

地球中心を原点とする直行座標系

任意の点を原点とする直行座標系

下記のように定義されます。

• 地球上の任意の点\(p_o\)を原点とする
• z軸を上方向（地球中心と反対方向）
• y軸を北方向（z軸に垂直）
• 右手系で残りの軸をx軸とする